20.04.2020 • C3D Modeler

Что нового в C3D Modeler: поверхность конического сечения

В следующем релизе геометрического ядра C3D Modeler будет доступно построение поверхностей конического сечения.

Поверхность конического сечения может быть получена движением плоской образующей кривой вдоль опорной кривой. В процессе движения образующая кривая может менять свою форму по определенному закону. Плоскость образующей кривой сохраняет ортогональность к опорной кривой в точке их пересечения. Довольно часто образующая кривая представляет собой участок кривой второго порядка, начинающийся на одной направляющей кривой и оканчивающийся на другой направляющей кривой.

На рисунке 1 приведен пример образующей кривой поверхности конического сечения. Образующая кривая начинается в точке A и заканчивается в точке B, в которых плоскость образующей кривой пересекает направляющие кривые.


Рис. 01

Управление формой образующей кривой осуществляется через дискриминант конического сечения. Дискриминант конического сечения равен отношению длин отрезков DE и DC (см. рис. 1), где C – точка пересечения касательных к краям кривой прямых, D – середина отрезка AB, E – точка пересечения отрезка CD с образующей кривой.

Для построения поверхности конического сечения необходимы: опорная кривая, две направляющие кривые, функция изменения дискриминанта и направления образующей кривой на ее краях. Направления образующей кривой на ее краях могут быть заданы с помощью еще одной кривой (пересечения касательных к краям образующей кривой прямых) или двумя поверхностями.

Функция изменения дискриминанта конического сечения может быть задана явно или вычислена по дополнительной кривой, через которую должна проходить поверхность, или вычислена по дополнительной поверхности, которой должна касаться поверхность конического сечения.

Поверхность конического сечения может гладко стыковаться с заданными поверхностями. Для этого направляющие кривые должны лежать на заданных поверхностях. На рисунке 2 приведена поверхность конического сечения, гладко соединяющая две поверхности. Дискриминант образующей кривой этой поверхности равен 0.5.


Рис. 2

В общем случае дискриминант поверхности конического сечения может меняться по заданному закону вдоль опорной кривой, а направляющие кривые могут быть составными. Образующей кривой может служить любая плоская сплайновая кривая, для которой можно построить некоторый треугольник ABC (см. рис. 1). Кривая должна располагаться внутри треугольника ABC и касаться сторон AC и BC на краях. В этом случае функция дискриминанта может отсутствовать.

Поверхность конического сечения имеет множество разновидностей. На рисунке 3 приведена поверхность, образованная движением окружности вдоль прямолинейной опорной кривой.


Рис. 3

Радиус окружности меняется вдоль опорной кривой по заданному закону (см. рис. 3), а поверхность конического сечения касается заданной направляющей поверхности в точках заданной направляющей кривой.

Николай Голованов, Руководитель разработки C3D Toolkit
Автор:
Николай Голованов
Руководитель разработки C3D Toolkit